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Principios de BERNOULLI- Ejercicios

El científico, Daniel Bernoulli, planteo en 1738, un principio que lleva su nombre, que establece la relación de la velocidad de un fluido y la presión que ejerce, cuando el fluido se encuentra en movimiento. Los fluidos tienden a aumentar su velocidad es tuberías estrechas.

También plantea que, para un fluido en movimiento, la energía es transformada cada vez que cambia el área transversal de la tubería, presentando en la Ecuación de Bernoulli, la relación matemática entre las formas de energía que presenta el fluido en movimiento.

El uso del principio de Bernoulli tiene una gran variedad de aplicaciones a nivel de hogares, comerciales e industriales, tales como en chimeneas, pulverizador de insecticida, medidores de caudal, tubos Venturi, carburadores de motores, ventosas, sustentación de aviones, ozonizadores de agua, equipos dentales, entre otras. Es la base para el estudio de la hidrodinámica y la mecánica de fluidos.

CONCEPTOS BÁSICOS para entender los Principios de Bernoulli

Los invitamos a ver el artículo de El calor de la Ley de Joule “Aplicaciones – Ejercicios”

Fluido:

Conjunto de moléculas distribuidas al azar que se mantienen unidas por fuerzas cohesivas débiles y por fuerzas ejercidas por las paredes de un recipiente, sin volumen definido. Tanto líquido como gases se consideran fluidos. En el estudio del comportamiento de los fluidos se suele realizar estudio de fluidos en estado de reposo (hidrostática) y de fluidos en movimiento (hidrodinámica). Ver figura 1.

Estudio de fluidos
Figura 1. citeia.com

Los invitamos a ver el artículo Principios Termodinámicos

Masa:

Medida de la inercia o resistencia a cambiar el movimiento de un cuerpo de fluido. Medida de la cantidad de fluido, se mide en kg.

Peso:

Fuerza con la que el fluido es atraído hacia la tierra por la acción de la gravedad. Se mide en N, lbm.pie/s2.

Densidad:

Cantidad de masa por unidad de volumen de una sustancia. Se mide en kg/m3.

Caudal:

Volumen por unidad de tiempo, en m3/s.

Presión:

Cantidad de fuerza que se ejerce sobre una unidad de área de una sustancia, o sobre una superficie. Se mide en Pascal o psi, entre otras unidades.

Viscosidad:

Resistencia que presentan los fluidos a fluir, debido a la fricción interna. A mayor viscosidad, menor flujo. Varia con la presión y la temperatura.

Ley de Conservación de la Energía:

La energía no se crea ni se destruye, se transforma en otro tipo de energía.

Ecuación de Continuidad:

En una tubería con diámetros distintos, con caudal constante existe una relación entre las áreas y la velocidad del fluido. Las velocidades son inversamente proporcionales a las áreas transversales de la tubería. [1].  Ver figura 2.

Ecuación de continuidad
Figura 2. citeia.com

Principio de Bernoulli

Enunciado del Principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli establece la relación entre la velocidad y la presión de un fluido en movimiento. El principio de Bernoulli establece que, en un fluido en movimiento, a medida que aumenta la velocidad de un fluido, la presión disminuye. Los puntos de mayor velocidad tendrán menor presión. [2]. Ver figura 3.

Ejemplo del Principio de Bernoulli
Figura 3. citeia.com

Cuando un fluido se mueve por una tubería, si la tubería presenta una reducción (menor diámetro), el fluido tiene que aumentar su velocidad para mantener el caudal, y su presión disminuye. Ver figura 4.

Ejemplo del Principio de Bernoulli
Figura 4. citeia.com

Usos del Principio de Bernoulli

Carburador:

Dispositivo, en motores que funcionan con gasolina, donde se mezclan el aire y el combustible. El aire al pasar por la válvula de estrangulamiento, disminuye su presión. Con esta disminución de presión la gasolina comienza a fluir, a presión tan baja se vaporiza y se mezcla con el aire. [3]. Ver figura 5.

Aplicación del Principio de Bernoulli – Carburadores
Figura 5. citeia.com

Aviones:

Para el vuelo de los aviones se diseñan las alas para que se produzca una fuerza llamada “de sustentación” creando una diferencia de presiones entre la parte superior e inferior de las alas. En la figura 6 se puede observar uno de los diseños de las alas de avión. El aire que pasa por debajo del ala del avión tiende a separarse creando mayor presión, mientras que el aire que pasa sobre el ala recorre mayor distancia y mayor velocidad. Ya que la presión alta se encuentra debajo del ala, resulta una fuerza de sustentación que impulsa el ala hacia arriba.

Aplicación del Principio de Bernoulli – Aviones
Figura 6. citeia.com

Hélice de barcos:

Es un dispositivo usado como propulsor en los barcos. Las hélices consisten en una serie de álabes diseñadas para que al girar la hélice se genera una diferencia de velocidades entre las caras de los álabes, y por tanto una diferencia de presión (efecto Bernoulli). Al. La diferencia de presión produce una fuerza de empuje, perpendicular al plano de la hélice, que impulsa al barco. Ver figura 7.

Fuerza de empuje en barcos
Figura 7. citeia.com

Natación:

Al mover las manos al nadar, se produce una diferencia de presión entre la palma y el dorso de la mano. En la palma de la mano el agua pasa a baja velocidad y alta presión (principio de Bernoulli), originándose una “fuerza de sustentación” que depende de la diferencia de presión entre la palma y el dorso de la mano. Ver figura 8.

Aplicación del Principio de Bernoulli - Natación
Figura 8. citeia.com

Ecuación para el principio de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli permite analizar matemáticamente a los fluidos en movimiento. El principio de Bernoulli se plantea, matemáticamente, en base a la conservación de la energía, que establece que la energía no se crea ni se destruye, se transforma en otro tipo de energía. Se consideran la energía cinética, la potencial y la de flujo:

  • Cinética: que depende de la velocidad y masa del fluido
  • Potencial: debida a la altura, con respecto a un nivel de referencia
  • De flujo o presión: energía que llevan las moléculas del fluido al desplazarse a lo largo de la tubería. Ver figura 9.
Energía potencial, cinética y de flujo
Figura 9. citeia.com

La energía total que tiene un fluido en movimiento es la sumatoria de la energía de la presión de flujo, la energía cinética y la energía potencial. Por la Ley de Conservación de la energía, la energía de un fluido a través de una tubería es igual a la entrada que a la salida. La suma de las energías en el punto inicial, a la entrada de la tubería, es igual a la suma de las energías a la salida. [1]. Ver figura 10.

Ecuación de Bernoulli
Figura 10. citeia.com

Restricciones de la Ecuación de Bernoulli

  • Solo es válida para fluidos incompresibles.
  • No tiene en cuenta dispositivos que agreguen energía al sistema.
  • La transferencia de calor no se toma en cuenta (en la ecuación básica) .
  • El material de la superficie no es tomado en cuenta (No hay perdidas por fricción).

Ejercicio

Para llevar agua a una segunda planta de una vivienda se utiliza una tubería como la mostrada en la figura 11. Se desea que, a la salida de la tubería, ubicada a 3 metros sobre el suelo, el agua tenga una velocidad de 5 m/s, con una presión igual a 50.000 Pa. ¿Cuánto debe ser la velocidad y la presión a la que se debe bombear el agua? En la figura 10 se señala la entrada del agua, como el punto 1, y la salida del agua, en la tubería más estrecha como el punto 2.

planteamiento ejercicio
Figura 11. Ejercicio – planteamiento (https://citeia.com)

Solución

Para determinar la velocidad v1, a la entrada de la tubería se utiliza la ecuación de continuidad. Ver figura 12.

Cálculo de la velocidad v1
Figura 12. Cálculo de la velocidad v1 (https://citeia.com)

Se utilizará la ecuación de Bernoulli para calcular la presión a la entrada P1, como se muestra en la figura 13.

Cálculo de la presión P1
Figura 13. Cálculo de la presión P1 (https://citeia.com)

Conclusiones del Principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli establece que, en un fluido en movimiento, cuando aumenta su velocidad, menor es la presión que ejerce. La energía es transformada cada vez que cambia el área transversal de la tubería.

La ecuación de Bernoulli, es una consecuencia de la conservación de la energía, para fluidos en movimiento. Establece que la suma de la presión del fluido, la energía cinética y la energía potencial, permanece constante a lo largo de toda la trayectoria del fluido.

Este principio tiene múltiples aplicaciones tales como en la sustentación de aviones, o de una persona al nadar, así como en diseño de equipos para el transporte de fluidos, entre otras tantas, siendo de gran importancia su estudio y comprensión.

REFERENCIAS

[1] Mott, Robert. (2006). Mecánica de Fluidos. 6ta edición. Pearson Educación
[2]
[3]

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