पाइथागोरस और उनके सिद्धांत [आसान]
पाइथागोरस प्रमेय यह सबसे उपयोगी प्रमेयों में से एक है। गणित में आधार, ज्यामिति, त्रिकोणमिति, बीजगणित और व्यापक रूप से रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग किया जाता है जैसे कि निर्माण, नेविगेशन, स्थलाकृति, आदि।
पाइथागोरस प्रमेय आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है, और हालाँकि कई त्रिभुज सही नहीं हैं, फिर भी वे सभी दो दायें त्रिकोणों में विभाजित किए जा सकते हैं, जहाँ पायथागॉरियन प्रमेय को लागू किया जा सकता है।
बुनियादी अवधारणाओं "पायथागॉरियन प्रमेय को समझने के लिए"
मैं त्रिकोण:
प्लेन में जियोमेट्रिक फिगर, तीन तरफ से बनता है जो कि कोने में मिलता है। शीर्षकों को बड़े अक्षरों में लिखा जाता है और उसी निचले अक्षर के साथ शीर्ष के विपरीत पक्ष होता है। आकृति १ देखें। त्रिकोण में:
- इसके दो पक्षों का योग दूसरे पक्ष से अधिक है।
- एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 of मापता है।
त्रिकोणों का वर्गीकरण
पक्षों की लंबाई के आधार पर, एक त्रिभुज समबाहु हो सकता है यदि इसके तीन समान पक्ष हैं, समद्विबाहु यदि इसके दो समान पक्ष हैं, या यदि इसके कोई भी पक्ष समान नहीं हैं, तो स्केलीन। आकृति 2 देखें।
एक समकोण वह होता है जो 90 ° मापता है। यदि कोण 90 ° से कम है, तो इसे "तीव्र कोण" कहा जाता है। यदि कोण 90 ° से अधिक है तो इसे "ऑब्सट्यूज कोण" कहा जाता है। कोणों के अनुसार, त्रिकोणों को इसमें वर्गीकृत किया गया है:
- तीव्र कोण: अगर उनके पास 3 तीव्र कोण हैं।
- आयतें: यदि उनके पास एक समकोण है और अन्य दो कोण तीव्र हैं।
- मोटापा: अगर उनके पास एक अप्रिय कोण है और दूसरा तीव्र है। आकृति 3 देखें।
सही त्रिकोण:
समकोण त्रिभुज एक समकोण (90 °) है। सही त्रिभुज के तीन किनारों में से सबसे लंबे को "कर्ण" कहा जाता है, अन्य को "पैर" कहा जाता है:
- परिकल्पना: एक समकोण त्रिभुज में समकोण के विपरीत। लंबे पक्ष को कर्ण कहा जाता है जो समकोण के विपरीत होता है।
- पैर: यह एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाओं में से कोई है जो समकोण बनाती है। आकृति 4 देखें।
पाइथागोरस प्रमेय
पाइथागोरस प्रमेय का कथन:
पाइथागोरस प्रमेय बताता है कि, एक सही त्रिकोण के लिए, कर्ण खंड दो पैरों के वर्गों के योग के बराबर है। [दो]। आकृति 2 देखें।
पाइथागोरस प्रमेय इसे निम्नानुसार भी कहा जा सकता है: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर निर्मित वर्ग में वही क्षेत्रफल होता है जो पैरों पर निर्मित वर्गों के क्षेत्रों का योग होता है। आकृति 6 देखें।
साथ पाइथागोरस प्रमेय आप एक सही त्रिकोण के दोनों ओर की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं। चित्र 7 में कर्ण या त्रिकोण के कुछ पैरों को खोजने के सूत्र हैं।
पाइथागोरा की प्रमेय का उपयोग
निर्माण:
पाइथागोरस प्रमेय यह रैंप, सीढ़ियों, विकर्ण संरचनाओं के डिजाइन और निर्माण में उपयोगी है, उदाहरण के लिए, ढलान वाली छत की लंबाई की गणना के लिए। चित्र 8 से पता चलता है कि भवन स्तंभों के निर्माण के लिए, ट्रेस्टल्स और रस्सियों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें पाइथागोरियन प्रमेय का अनुपालन करना चाहिए।
स्थलाकृति:
स्थलाकृति में, किसी भूभाग की सतह या राहत को एक विमान पर रेखांकन द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, आप ज्ञात ऊँचाई और दूरबीन की एक मापने वाली छड़ का उपयोग करके भूमि की ढलान की गणना कर सकते हैं। टेलीस्कोप और रॉड की दृष्टि की रेखा के बीच एक समकोण बनता है, और एक बार रॉड की ऊंचाई ज्ञात होने के बाद, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग इलाके के ढलान को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। आकृति 8 देखें।
त्रिकोणासन:
यह एक वस्तु का स्थान निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जाता है, जिसे दो संदर्भ बिंदुओं के रूप में जाना जाता है। त्रिकोणासन का उपयोग सेल फोन ट्रैकिंग, नेविगेशन सिस्टम में, अंतरिक्ष में एक जहाज का पता लगाने में, दूसरों के बीच में किया जाता है। आकृति 9 देखें।
पाइथागोरस कौन था?
पाइथागोरस का जन्म ग्रीस में हुआ था 570 ईसा पूर्व में, उनकी मृत्यु 490 ईसा पूर्व में हुई थी। वह एक दार्शनिक और गणितज्ञ थे। उनका दर्शन था कि प्रत्येक संख्या का एक दिव्य अर्थ होता है, और संख्याओं के संयोजन से अन्य अर्थ प्रकट होते हैं। हालाँकि उन्होंने अपने पूरे जीवन में कोई भी लेखन प्रकाशित नहीं किया, लेकिन उन्हें प्रमेय का परिचय देने के लिए जाना जाता है जो उनके नाम को धारण करता है, जो त्रिकोण के अध्ययन के लिए उपयोगी है। उन्हें पहला शुद्ध गणितज्ञ माना जाता है, जिन्होंने ज्यामिति और खगोल विज्ञान में गणितीय अध्ययन विकसित किया था। [दो]। आकृति 2 देखें।
ड्रिल
पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करने के लिए, सबसे पहली बात यह पहचानना है कि सही त्रिभुज कहाँ बनता है, किन पक्षों में कर्ण और पैर हैं।
व्यायाम 1. चित्रा में सही त्रिकोण के लिए कर्ण का मूल्य निर्धारित करें
समाधान:
चित्र 12 त्रिभुज के कर्ण की गणना दर्शाता है।
व्यायाम 2. एक पोल को तीन केबलों के सेट द्वारा समर्थित करने की आवश्यकता होती है, जैसा कि आकृति 13. में दिखाया गया है कि कितने मीटर की केबल खरीदी जानी चाहिए?
समाधान
यदि केबल को केबल, ध्रुव और जमीन के बीच बने एक सही त्रिभुज का कर्ण माना जाता है, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके केबलों में से एक की लंबाई निर्धारित की जाती है। चूंकि तीन केबल हैं, इसलिए प्राप्त लंबाई को कुल आवश्यक लंबाई प्राप्त करने के लिए 3 से गुणा किया जाता है। आकृति 14 देखें।
व्यायाम 3. कुछ बॉक्सों को दूसरी मंजिल से भूतल तक ले जाने के लिए, आप एक झुका हुआ कन्वेयर बेल्ट खरीदना चाहते हैं जैसे कि चित्र 15 में दिखाया गया है। कन्वेयर बेल्ट कब तक होना चाहिए?
समाधान:
कन्वेयर बेल्ट को बेल्ट, जमीन और दीवार के बीच गठित सही त्रिकोण के कर्ण के रूप में देखते हुए, चित्र 16 में कन्वेयर बेल्ट की लंबाई की गणना की जाती है।
व्यायाम 4. एक बढ़ई फर्नीचर का एक टुकड़ा डिजाइन करता है जहां किताबें जानी चाहिए, और एक 26 "टेलीविजन। जहां टीवी जाएगा वहां विभाजन कितना चौड़ा और ऊंचा होना चाहिए? आकृति 17 देखें।
समाधान:
माप जो इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों जैसे कि टेलीफ़ोन, टैबलेट, टेलीविज़न में स्क्रीन के विकर्ण में दूसरों के बीच किया जाता है। एक 26 "टीवी के लिए, स्क्रीन विकर्ण 66,04 सेमी है। स्क्रीन के विकर्ण द्वारा गठित सही त्रिकोण और टेलीविजन के पक्षों को ध्यान में रखते हुए, टेलीविजन की चौड़ाई निर्धारित करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू किया जा सकता है। आकृति 18 देखें।
निष्कर्ष पाइथागोरस प्रमेय पर
पाइथागोरस प्रमेय आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है, और यहाँ तक कि किसी भी त्रिभुज के लिए, क्योंकि इन्हें समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।.
पाइथागोरस प्रमेय इंगित करता है कि एक सही त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्ग के योग के बराबर है, जो निर्माण, नेविगेशन, स्थलाकृति, के बीच व्यापक उपयोग के साथ, ज्यामिति, त्रिकोणमिति और गणित के अध्ययन में बहुत उपयोगी है। कई अन्य अनुप्रयोग।
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