Pitàgores i la seva Teorema [FÀCIL]
El Teorema de Pitàgores és un dels teoremes amb més utilitat. Base a les matemàtiques, en geometria, trigonometria, àlgebra i amb ampli ús en la vida quotidiana tal com en la construcció, navegació, topografia, entre altres.
El Teorema de Pitàgores permet trobar la longitud dels costats d'un triangle rectangle, i encara que molts triangles no són rectangles, tots es poden dividir en dos triangles rectangles, on es pot aplicar el teorema de Pitàgores.
CONCEPTES BÀSICS "Per entendre el teorema de Pitàgores"
triangle:
Figura geomètrica, en el pla, formada per tres costats que s'uneixen en vèrtexs. Els vèrtexs s'escriuen en lletres majúscules i el costat oposat a el vèrtex amb la mateixa lletra minúscula. Veure figura 1. En els triangles:
- La suma de dos dels seus costats és més gran que l'altre costat.
- La suma dels angles d'un triangle mesura 180º.
Classificació dels triangles
Segons la longitud dels costats, un triangle pot ser equilàter si té els seus tres costats iguals, isòsceles si té dos costats iguals o escalè si cap dels seus costats són iguals. Veure figura 2.
Un angle recte és el que mesura 90 °. Si l'angle és menor de 90 ° es diu "angle agut". Si l'angle és major de 90 ° llavors és anomenat "angle obtús". Segons els angles, els triangles es classifiquen en:
- acutangles: si tenen dels 3 angles aguts.
- rectangles: si tenen un angle recte i els altres dos angles són aguts.
- obtusangles: si tenen un angle obtús i els altres aguts. Veure figura 3.
triangle Rectangle:
El triangle rectangle és aquell amb un angle recte (de 90 °). Dels tres costats d'el triangle rectangle, el de més longitud és anomenat "hipotenusa", els altres es diuen "catets" [1]:
- hipotenusa: costat oposat a l'angle recte en un triangle rectangle. El costat més gran s'anomena hipotenusa el que és oposat a l'angle recte.
- catets: és qualsevol dels dos costats menors d'un triangle rectangle els que conformen l'angle recte. Veure figura 4.
Teorema de Pitàgores
Enunciat de l'Teorema de Pitàgores:
El Teorema de Pitàgores estableix que, per a un triangle rectangle, la hipotenusa a el quadrat és igual a la suma dels quadrats dels dos catets. [2]. Veure figura 5.
El teorema de Pitàgores també es pot enunciar de la manera següent: El quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle té la mateixa àrea que la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els catets. Veure figura 6.
Amb el Teorema de Pitàgores es pot determinar la longitud de qualsevol dels costats d'un triangle rectangle. A la figura 7 es troben les fórmules per trobar la hipotenusa o alguns dels catets d'el triangle.
Usos de l'teorema de Pitagora
construcció:
El teorema de Pitàgores és útil en el disseny i construcció de rampes, escales, estructures diagonals, entre d'altres, per exemple, per al càlcul de longitud d'una teulada inclinada. A la figura 8 es mostra que per a la construcció de les columnes d'edificis s'empren cavallets i cordes que han de complir amb el Teorema de Pitàgores.
topografia:
A la topografia es representa gràficament, en un pla, la superfície o relleu d'un terreny. Per exemple, es pot calcular la inclinació de terrenys fent ús d'una vara de mesura, d'altura coneguda i un telescopi. Entre la línia de visió de l'telescopi i la vara es forma un angle recte, i coneguda l'altura de la vara s'utilitza el teorema de Pitàgores per determinar el pendent de el terreny. Veure figura 8.
triangulació:
És un mètode usat per determinar la ubicació d'un objecte, coneguts dos punts de referència. La triangulació s'utilitza en el rastreig de telèfons mòbils, en sistemes de navegació, en la detecció d'una nau en l'espai, entre d'altres. Veure figura 9.
Qui va ser Pitàgores?
Pitàgores va néixer a Grècia l'any 570 ac, va morir en l'any 490 ac Va ser filòsof i matemàtic. Tenia com a filosofia que cada número tenia un significat diví, i la combinació dels números revelava altres significats. Tot i que no va realitzar publicacions de cap escrit durant tota la seva vida, és conegut per introduir el teorema que porta el seu nom, útil per a l'estudi de triangles. Es considera el primer matemàtic pur, que va desenvolupar estudis matemàtics en geometria i astronomia. [2]. Veure figura 10.
Exercicis
Per utilitzar el teorema de Pitàgores el primer a fer és identificar on es forma el triangle rectangle, quin dels costats és la hipotenusa i els catets.
Exercici 1. Determineu el valor de la hipotenusa per al triangle rectangle de la figura
Solució:
A la figura 12 es mostra el càlcul de la hipotenusa d'el triangle.
Exercici 2. Es requereix sostenir un pal mitjançant un conjunt de tres cables, tal com es mostra a la figura 13. Quants metres de cable s'han de comprar?
Solució
Si es considera el cable com la hipotenusa d'un triangle rectangle que es forma entre el cable, el pal i el sòl, es determina la longitud d'un dels cables usant el teorema de Pitàgores. Ja que són tres cables, la longitud obtinguda es multiplica per 3 per obtenir la longitud total necessària. Veure figura 14.
Exercici 3. Per transportar unes caixes, des d'un segon pis a planta baixa, es desitja adquirir una banda transportadora inclinada com la mostrada a la figura 15. Quina longitud ha de tenir la cinta transportadora?
Solució:
Considerant la banda transportadora com la hipotenusa d'el triangle rectangle que es forma entre la banda, el sòl i la paret, a la figura 16 es calcula la longitud de la cinta transportadora.
Exercici 4. Un fuster dissenya un moble on han d'anar uns llibres, i un televisor de 26 ". ¿Què ample i alt ha de tenir la divisió on anirà la televisió? Veure figura 17.
Solució:
La mesura que s'utilitza en dispositius electrònics com ara telèfons, tablets, televisors, entre d'altres a la de la diagonal de la pantalla. Per a un televisor de 26 ", la diagonal de la pantalla mesura 66,04 cm. Considerant el triangle rectangle que es forma amb la diagonal de la pantalla, i els costats de la televisió, es pot aplicar el teorema de Pitàgores per determinar l'ample de la televisió. Veure figura 18.
Conclusions sobre el Teorema de Pitàgores
El Teorema de Pitàgores permet trobar la longitud dels costats d'un triangle rectangle, i fins i tot per a qualsevol altre triangle, ja que aquests poden dividir-se en triangles rectangles.
El Teorema de Pitàgores indica que el quadrat de la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de l'quadrat dels catets, sent de gran utilitat en l'estudi de la geometria, trigonometria, i matemàtica en general, amb ampli ús en la construcció, navegació, topografia , entre altres tantes aplicacions.
Els convidem a veure l'article Lleis de Newton "fàcil d'entendre"